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68．Re: 極限値  
名前：ppp    日付：2019年10月8日(火) 22時51分
ITさん　ありがとうございます。
出典は、'86神戸大です。今後ともよろしくお願いします。
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67．Re: 極限値  
名前：IT    日付：2019年10月8日(火) 21時8分
> ･･･
> f(β）＜f(x_n)だからβ＜x_(n+1)　

β＜x_(n+1)　は、なぜいえますか？　いえるとしても、もっと説明が必要だと思います。
f(β）＜f(x_n)　かつ　β≦ f(β）

β≦ f(β）＜f(x_n)　＝　x_(n+1)　よってβ＜x_(n+1)　としておられるなら、
β≦ f(β）とは限らないのではないですか？

＃　f(β）＝βなので　これはＯＫでしたね。

> 数列の条件からβ<=δでなければならないので、(x_n)→β　（n→∞)

は、β<=δ＜γでなければならないので、　
とした方がいいと思います。

> 1.この推論に誤りがあるか。
私は、大丈夫だと思いますが、見落としがあるかもしれません。

> 2.もし、誤りがなければ問題の仮定「0＜β＜x_1＜1/√3」は不要なのか。
なくてもいいとおもいます。出典は何ですか？
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66．Re: 極限値  
名前：ppp    日付：2019年10月8日(火) 1時52分
◇｛x_n｝は下に有界について
f(x)=x^3+a　として、x_(n+1)=f((x_n))で定義すると、
f(x)は単調増加だからβ＜x_nならばf(β）＜f(x_n)だから
β＜x_(n+1)　（n=1,2,3,…）また、仮定よりβ＜x_1　■
◇｛x_n｝は単調減少列について
F(x)=x-f(x)として、F(β)=F(γ)=0と増減表より
β＜x_n＜γならばF(x_n)＞0　すなわち　x_n-x_(n+1)＞0■
◇推論について
下に有界な単調減少列だから｛x_n｝は収束し、
その極限値をδとするとδ＝δ^3+aが必要条件であり、
数列の条件からβ<=δでなければならないので、(x_n)→β　（n→∞)■
◇質問は、
1.この推論に誤りがあるか。
2.もし、誤りがなければ問題の仮定「0＜β＜x_1＜1/√3」は不要なのか。
です。ITさんよろしくお願いします。
　
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65．Re: 極限値  
名前：IT    日付：2019年10月7日(月) 23時37分
> 簡単な計算から｛x_n｝は単調減少で
どんな計算ですか？

>推論に誤りがあるかもしれませんので教えてください。
どんな推論ですか？
(仮に　正しいとしても、書いてある記述だけでは　飛ばし過ぎのような気がします。）
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64．極限値  
名前：ppp    日付：2019年10月7日(月) 8時1分
いつもお世話になっています。
問題　「3次方程式　x^3-x+a＝0　が3つの異なる実数解　α＜β＜γを持つように実数aをさだめ、
数列｛x_n｝をβ＜x_1＜γ,x_(n+1)＝(x_n)^3+a　で定義します。このとき、
0＜β＜x_1＜1/√3　ならば　(x_n)→β　（n→∞)　を証明せよ。」です。
質問　簡単な計算から｛x_n｝は単調減少で、任意の自然数nに対してx_n＞βが
分かります。収束性は明らかなので、その極限値をδとするとδ＝δ^3+aが必要条件であり、
数列の条件からδ＝βでなければならないので、(x_n)→β　（n→∞)　が直ちに示されると
思うのですが、仮定の0＜β＜x_1＜1/√3はどこで必要になるのでしょうか。あるいは、
推論に誤りがあるかもしれませんので教えてください。
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