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659.Re: 極限  
名前:黄桃    日付:2020年4月4日(土) 17時21分
>塾のアルバイトで生徒から受けた質問
であれば、
『高校数学で使うのは議論があるけど、「ロピタルの定理」を調べてごらん』
くらいの答でいいのではないでしょうか。

中途半端に教えると生徒さんが条件を間違えて適用して失敗する可能性が高いので、ちゃんと教えるならご自身できちんと理解してからの方がいいと思います。

#学部の時に、解析の先生が
#「なぜ学生は不定形(ロピタルの定理)を使わないんでしょうかね」
#と不思議がってたのを思い出します。
#大学まで行くような生徒は、ロピタルの定理を知っていてもいいと思います。
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655.Re: 極限  
名前:らすかる    日付:2020年4月3日(金) 8時30分
その考え方の場合は、別に「極限値を持つこと」を示さないといけませんね。
「極限値を持つならば、その極限値は-1/6」は言えていますが、
「極限値を持つ」かどうかはわかりません。

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654.Re: 極限  
名前:ケム    日付:2020年4月3日(金) 8時8分
失礼しました。x→0の極限が求めたいです。

可能であれば、高校範囲の知識を用いて求めたいのですが、難しいでしょうか。


3倍角の公式を用いることで、

(sinx-x)/x^3=4/3*(sinx/x)^3+9*(sin3x-3x)/(3x)^3
と変形できて、
左辺の(x→0)の極限をαとすれば、
右辺は4/3+9αとなり、
α=-1/6を得ることができたのですが、この考えに何か間違いはありますか?

自分の考えでは、極限をαと仮定してしまい、その上で計算を進めてしまうことに違和感を感じます。


##
私は今大学生で、専門は数学ではありません。本問は塾のアルバイトで生徒から受けた質問で、テイラー展開由来の不等式が誘導として与えられていました。
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653.Re: 極限  
名前:らすかる    日付:2020年4月3日(金) 6時17分
ただ「極限」だけ言われてもxを何に近づけた時の極限かわかりませんが、
答えから類推するとx→0の時の極限ですね?

もしテイラー展開を使ってよければ
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+…なので
sinx-x=-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+…
よって
(sinx-x)/x^3=-1/3!+x^2/5!-x^4/7!+…
となり、x→0のとき-1/3!=-1/6となります。

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652.Re: 極限  
名前:ケム    日付:2020年4月3日(金) 2時21分
答えは-1/6になるかと思います。
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651.極限  
名前:ケム    日付:2020年4月3日(金) 2時20分
(sinx-x)/x^3
の極限を、不等式を用いずに求めることは可能ですか?
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