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669.Re: 難問です  
名前:らすかる    日付:2020年4月8日(水) 0時18分
きちんとした証明は、下の説明の数字を変数にして
省略できるものを省略するだけで、内容は全く同じです。

i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; rv:74.0) Gecko/20100101 Firefox/74.0

668.Re: 難問です  
名前:    日付:2020年4月7日(火) 23時52分
きちんとした証明の方も気になったので教えていただけると嬉しいです。
219-122-157-135f1.hyg2.eonet.ne.jp (219.122.157.135)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 9; POT-LX2J) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/80.0.3987.162 Mobile Safari/537.36

666.(untitled)  
名前:    日付:2020年4月5日(日) 17時51分
分かりやすい説明ありがとうございます。
219-122-157-135f1.hyg2.eonet.ne.jp (219.122.157.135)
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664.Re: 難問です  
名前:らすかる    日付:2020年4月5日(日) 0時4分
きちんとした証明にすると理解しにくいと思いますので、
具体例で説明します。

n=5,x=3とします。
1+1+3=5が3通り→(1×1×3)×3=9
1+2+2=5が3通り→(1×2×2)×3=12
となり総和は9+12=21ですね。
1+1+3,1+2+2のような分け方は5個の○と2個の仕切りでできますね。
例えば1+1+3は○|○|○○○のように表せます。
「1×1×3」というのは、この図で
(左側の仕切りより左にある○の個数)×
(二つの仕切りの間にある○の個数)×
(右側の仕切りより右にある○の個数)
ですから、これは
左側の仕切りより左にある○から一つ選び、
二つの仕切りの間にある○から一つ選び、
右側の仕切りより右にある○から一つ選ぶ場合の数です。
つまり選んだものを●にすると
●|●|●○○
●|●|○●○
●|●|○○●
の3通りが1×1×3の答えです。
この考え方で(1×1×3)×3=9と(1×2×2)×3=12を全部書き出してみると
●|●|●○○  ●|●○○|●  ●○○|●|●
●|●|○●○  ●|○●○|●  ○●○|●|●
●|●|○○●  ●|○○●|●  ○○●|●|●

●|●○|●○  ●○|●|●○  ●○|●○|●
●|●○|○●  ●○|●|○●  ●○|○●|●
●|○●|●○  ○●|●|●○  ○●|●○|●
●|○●|○●  ○●|●|○●  ○●|○●|●
となりますね。
そこで、この図の仕切りをすべて「●」に変えると
●●●●●○○  ●●●○○●●  ●○○●●●●
●●●●○●○  ●●○●○●●  ○●○●●●●
●●●●○○●  ●●○○●●●  ○○●●●●●

●●●○●●○  ●○●●●●○  ●○●●○●●
●●●○●○●  ●○●●●○●  ●○●○●●●
●●○●●●○  ○●●●●●○  ○●●●○●●
●●○●●○●  ○●●●●○●  ○●●○●●●
となり、これを並べ替えてみると
●●●●●○○
●●●●○●○
●●●●○○●
●●●○●●○
●●●○●○●
●●●○○●●
●●○●●●○
●●○●●○●
●●○●○●●
●●○○●●●
●○●●●●○
●○●●●○●
●○●●○●●
●○●○●●●
●○○●●●●
○●●●●●○
○●●●●○●
○●●●○●●
○●●○●●●
○●○●●●●
○○●●●●●
となります。これは7個の○から5個選んで●にした全パターンと同じですね。
つまり、7個の○から5個選び、1個目と3個目と5個目を●にして
2個目と4個目を仕切りにした全パターンが、上の方の図の全パターンに
対応しています。
従ってこの場合の積の総和は7C5と表せます。

一般の場合では、仕切りの個数はx-1個なので
○と仕切りを合わせた個数はn+x-1、選ぶものは仕切りで仕切られた
部分の個数(x)と仕切りの個数(x-1)の和なので2x-1ですから、
一般の場合の答えは(n+x-1)C(2x-1)となります。
(当然のことですが、x>nの場合は0です。)

i121-114-87-135.s41.a010.ap.plala.or.jp (121.114.87.135)
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660.難問です  
名前:    日付:2020年4月4日(土) 19時1分
a[1]+a[2]+・・・+a[x]=n
(a[1],a[2],・・・,a[x],n,x∈自然数)
となる自然数の組(a[1],a[2],・・・,a[x])それぞれについて積a[1]*a[2]*・・・*a[x]を考える。こうしてできた積の総和をxとnで表わせ。

問題の出処が分かる方、解ける方、よろしくお願いします。
(大学受験生/質問者)
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