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722.Re: 積分  
名前:とまと    日付:2020年4月26日(日) 13時2分
半角を使えばいいんですね!ありがとうございます。

やはり計算量が膨れ上がるので部分分数分解、又は初めからt=tanxの置換でやっていこうと思います。
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721.Re: 積分  
名前:ast    日付:2020年4月25日(土) 9時4分
> t=tanx/2とした時に積分区間置き換えることが出来ず(tanの位相が有名角でない)

これ↑に関してのみですが, x=π/4 のときの x/2=π/8 が有名角でないといっても x 自体は有名角なので, tan の半角公式
  tan^2(x/2) = (1-cos(x))/(1+cos(x))
から tan(π/8) はわかります. (この公式では二乗を計算しているので) 平方根をとる必要はありますが, そのわりには意外ときれいな数値になるんじゃないでしょうか (たぶん, √2 - 1).

# まあ, tan の半角公式は別に覚えなくともよいとは思いますが.
# (というか, cos の倍角公式を知っていれば, cos,sin の半角公式とともに, すぐに導出できる.)
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720.Re: 積分  
名前:ppp    日付:2020年4月25日(土) 8時39分
らすかる さん
ありがとうございます。
丁寧に教えていただき感謝します。
今後ともよろしくお願いします。
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719.Re: 積分  
名前:らすかる    日付:2020年4月25日(土) 3時52分
sin(2(π/4-x))=cos2x=2(cosx)^2-1
2(cos(π/4-x))^2=cos(2(π/4-x))+1=sin2x+1
なので
sin(2(π/4-x))+2(cos(π/4-x))^2=sin2x+2(cosx)^2 … (1)
よって
∫[0〜π/4]x/{sin2x+2(cosx)^2}dx
=(1/2){∫[0〜π/4]x/{sin2x+2(cosx)^2}dx+∫[0〜π/4]x/{sin2x+2(cosx)^2}dx}
=(1/2){∫[0〜π/4]x/{sin2x+2(cosx)^2}dx+∫[π/4〜0]-(π/4-t)/{sin(2(π/4-t)+2(cos(π/4-t))^2}dt} (右の項でx=π/4-tと置換した)
=(1/2){∫[0〜π/4]x/{sin2x+2(cosx)^2}dx+∫[0〜π/4](π/4-x)/{sin(2(π/4-x)+2(cos(π/4-x))^2}dx} (tをxに変更)
=(1/2){∫[0〜π/4]x/{sin2x+2(cosx)^2}dx+∫[0〜π/4](π/4-x)/{sin2x+2(cosx)^2}dx} ((1)より)
=(1/2)∫[0〜π/4](π/4)/{sin2x+2(cosx)^2}dx
=(π/8)∫[0〜π/4]1/{sin2x+2(cosx)^2}dx
となります。

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718.Re: 積分  
名前:ppp    日付:2020年4月25日(土) 2時47分
いつもお世話になっています。

>∫[0→π/4]{x/(sin2x+2cos^(2)x)}dx
>という問題で、対称性を使って
>π/8∫[0→π/4]{1/(sin2x+2cos^(2)x)}dxという形
までの導出が分かりません。
教えてもらえるとありがたいです。
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715.Re: 積分  
名前:とまと    日付:2020年4月24日(金) 11時30分
だから正弦、余弦の二乗はt=tanxと置いて上手くいくんですね!

今回の自分が質問した問題では積分区間が0→π/4だったので、t=tanx/2とした時に積分区間置き換えることが出来ず(tanの位相が有名角でない)詰まってしまったのですが、それも何か関係があるのでしょうか?
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712.Re: 積分  
名前:さる    日付:2020年4月23日(木) 21時31分
三角関数が出てくる式をt=tan(x/2)で置き換えればtの式に帰着できるというのは、一つの方法ですが、概して、式が複雑・面倒になります。

ここで、t=tan(x/2)の置き換えを、x=2s, t=tan sの二段階の置き換えだと思うことにします。すると、

Step 1:
x=2sの置き換えで
sin x= 2(sin s)(cos s)
cos x= (cos s)^2-(sin s)^2
などとなる。
Step 2:
t=tan sの置き換えで、(sin s)(cos s), (cos s)^2, (sin s)^2などはうまく処理できる。

という仕組みになっているので、そもそもstep 2が使えるなら、始めから使った方が簡単になるのは、まあ、感覚的には良いでしょう。
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707.Re: 積分  
名前:とまと    日付:2020年4月23日(木) 10時7分
t=tanxとすればよかったんですね!
自分は三角関数の複雑な形は全てt=tan(x/2)と置けばいいものと認識していて、それで解けなかったので少し混乱していました。
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706.Re: 積分  
名前:さる    日付:2020年4月23日(木) 4時25分
別解というか。参考まで。

(sin x)(cos x), (cos x)^2, (sin x)^2の組み合わせだけが出てくる形なので、t=tan xの置き換えでtの有理式の積分に帰着できます。
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705.Re: 積分  
名前:とまと    日付:2020年4月22日(水) 14時43分
三角比の部分分数分解が思いつかなかったです!
解決しました。ありがとうございます
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704.Re: 積分  
名前:らすかる    日付:2020年4月22日(水) 14時14分
1/{sin2x+2(cosx)^2}
=1/{2sinxcosx+2(cosx)^2}
=(1/2){1/{sinxcosx+(cosx)^2}}
=(1/2){1/{cosx(sinx+cosx)}}
=(1/2){sinx/cosx+(cosx-sinx)/(sinx+cosx)}
これを積分すれば
(1/2){-log(cosx)+log(sinx+cosx)}
なので解けますね。

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701.積分  
名前:とまと    日付:2020年4月22日(水) 11時2分
∫[0→π/4]{x/(sin2x+2cos^(2)x)}dx
という問題で、対称性を使って
π/8∫[0→π/4]{1/(sin2x+2cos^(2)x)}dx
という形に持ち込んだのですが、その後分母を三角関数の合成をや正弦の置換をしても上手く解けませんでした。
初めから間違っていたのか分からないので、解放がわかる方教えてください!
(高校 3 年/質問者)
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