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752.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:ppp    日付:2020年4月29日(水) 17時51分
らすかる さん ありがとうございます。
パラメータtを角の大きさθに変換すれば微小扇形で近似できて
∫[0〜π/3](r^2/2)dθ=(1/2)∫[0〜π/3](y'x-yx')dt
のグリーンの公式に帰着できるということですね。
勉強になりました。今後ともよろしくお願いします。
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749.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:らすかる    日付:2020年4月29日(水) 12時14分
いや、解けなくはないですよ。
単純に公式に当てはめるだけではダメ、というだけです。
単純に当てはめられるのは
x=f(θ)・cosθ, y=f(θ)・sinθ
のような場合、つまりθがそのまま偏角になっている場合です。
元の問題でも
∫[0〜π/3](r^2/2)dθ
をきちんと求めれば解けるわけで、
r^2=x^2+y^2=(2cost+cos2t)^2+(2sint-sin2t)^2=5+4cos3t
θ=arctan(y/x)=arctan((2sint-sin2t)/(2cost+cos2t))から
dθ=2(1-cos3t)/(5+4cos3t) dtなので
∫[0〜π/3](r^2/2)dθ
=∫[0〜π/3](5+4cos3t)/2・2(1-cos3t)/(5+4cos3t)dt (積分範囲はたまたま同じ)
=∫[0〜π/3](1-cos3t)dt
=π/3
のように正しく求められます。

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748.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:ppp    日付:2020年4月29日(水) 8時57分
らすかる さん ありがとうございます。
この例は極方程式ではないから微小扇形で近似する方法では、解けない。
ということですね。媒介変数θの曲線の式を見たときに極方程式として
扱えるかどうかを見分ける方法はあるのでしょうか。度々質問してすみませんが
よろしくお願いします。
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747.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:らすかる    日付:2020年4月29日(水) 5時10分
tが角度のつもりで式を立てていませんか?
その式の場合はtが角度を表していませんので、
単純に計算しようと思っても出ません。

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746.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:ppp    日付:2020年4月29日(水) 4時8分
らすかる さん ありがとうございます。
もし曲線が凹の場合は、微小扇形では近似できないのでしょうか。
たとえば、曲線x=2cost+cos2t,y=2sint-sin2t(0≦t≦π/3)と
x軸,直線y=√3xで囲まれた面積を微小扇形で近似する方法では
上手くいきません。曲線が凸の場合しか微小扇形で近似する方法は
適用できないのでしょうか。
よろしくお願いします。
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743.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:らすかる    日付:2020年4月28日(火) 22時19分
そういうことです。
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742.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:ppp    日付:2020年4月28日(火) 20時45分
らすかる さん ありがとうございます。
動点PのベクトルOPと点Pにおける接ベクトルが直交しないから
√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dtで近似できないということでしょうか。
よろしくお願いします。
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740.Re: 曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:らすかる    日付:2020年4月28日(火) 16時14分
中心角θ、半径rの細長い扇型の面積は弧長×半径÷2ですが、
このときの弧長は「原点からr離れた曲線の中心角θに対する長さ」
ですね。この扇形の弧が
<)でなく</のように少し斜めになっていても面積は変わりませんが、
弧長は長くなります。よって中心からの距離が変わっていくような
曲線では「微小弧長×半径÷2」を積分しても正しく計算できず、
「微小弧長」の代わりに「微小中心角×半径」を使う必要があります。

例えばx=0〜1の区間でy=1とx軸に挟まれた面積を積分で計算する場合は
直線y=1を微小区間に分けて「微小区間の長さ×高さ」を積分すれば
面積が出ることはわかると思いますが、
もし直線がy=xだった場合は「y=xの微小区間の長さ×高さ」では
うまくいかず、「微小区間のxの幅×高さ」で階段状に近似しないと
正しく面積が出ませんね。これと同じです。

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738.曲線の長さ 素朴な疑問  
名前:ppp    日付:2020年4月28日(火) 14時1分
いつもお世話になっています。
曲線の長さとそれに囲まれた面積について素朴な疑問があるので
教えてください。
曲線の媒介変数tによる表示 x=tcost,y=tsint (0≦t≦π/2)
とするとき、曲線の長さを求めるときは微小部分の長さを
√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dtで近似して求めますが、面積を
求めるときは微小部分を扇形で近似し、そのときの弧長をtdtで近似します。
疑問点は曲線の長さを求めるときと同じ√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dtで近似すると
一致しません。この原因はどこにあるのでしょうか。基本的な疑問ですがよろしくお願いします。
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