いや、解けなくはないですよ。
単純に公式に当てはめるだけではダメ、というだけです。
単純に当てはめられるのは
x=f(θ)・cosθ, y=f(θ)・sinθ
のような場合、つまりθがそのまま偏角になっている場合です。
元の問題でも
∫[0〜π/3](r^2/2)dθ
をきちんと求めれば解けるわけで、
r^2=x^2+y^2=(2cost+cos2t)^2+(2sint-sin2t)^2=5+4cos3t
θ=arctan(y/x)=arctan((2sint-sin2t)/(2cost+cos2t))から
dθ=2(1-cos3t)/(5+4cos3t) dtなので
∫[0〜π/3](r^2/2)dθ
=∫[0〜π/3](5+4cos3t)/2・2(1-cos3t)/(5+4cos3t)dt （積分範囲はたまたま同じ）
=∫[0〜π/3](1-cos3t)dt
=π/3
のように正しく求められます。
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