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760.Re: 【位相空間】コンパクト、ハウスドルフ空間  
名前:名無し    日付:2020年4月30日(木) 17時52分
(1)
pを自然な全射とします.
閉区間 I=[0,1]はコンパクト,pは連続.よって,p[I]はコンパクト.
S=p[I]なので,Sはコンパクト.

S⊂p[I]は簡単で,Sの任意の元[x]に対して0<x+(整数)≦1とできるので,
この点をx'とすれば[x]=[x']=p(x')∈p[I].

(2)
(例えば有理数の稠密性を使えば示せます.aの同値類を[a]と書くことにします.有理数全体をpで送ると一つの同値類(これを[q/p]と書くことにする)になっていることに注意する.)

Sの異なる2元[a],[b]を任意にとります.
Rのどんな開集合にも内点として有理数が存在します(有理数の稠密性).
このことから,[a]を含む開集合Uをどのようにとったとしても,
(ある有理数)∈ p^(-1)(U):openとなり,[q/p]∈U.
[b]の開近傍にも全く同じことが言えるので,以上のことから[a]∈U, [b]∈VとなるU,Vをどのようにとっても,[q/p]という共通の元をU,Vは持ってしまうので,UとVは非交和にはなり得ない.■
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758.【位相空間】コンパクト、ハウスドルフ空間  
名前:トラ    日付:2020年4月30日(木) 12時13分
次の問題が分からないため、教えて頂きたいです。

問題,Rを実数全体とし、Rの元a,bに対してaーbが有理数の時a〜bと書き同値関係〜を定める。
また、SをRの〜による商集合とし、SにはRの標準的な位相から定まる商集合を考える。
(1)Sはコンパクトであることを証明せよ。
(2)Sはハウスドルフ空間ではないことを証明せよ。

よろしくお願い致します。
(大学 2 年/質問者)
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「758.【位相空間】コンパクト、ハウスドルフ空間」への返信

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