（1）
pを自然な全射とします．
閉区間 I=[0,1]はコンパクト，pは連続．よって，p[I]はコンパクト．
S=p[I]なので，Sはコンパクト．
S⊂p[I]は簡単で，Sの任意の元[x]に対して0<x+(整数)≦1とできるので，
この点をx'とすれば[x]=[x']=p(x')∈p[I]．
（2）
（例えば有理数の稠密性を使えば示せます．aの同値類を[a]と書くことにします．有理数全体をpで送ると一つの同値類（これを[q/p]と書くことにする）になっていることに注意する．）
Sの異なる2元[a],[b]を任意にとります．
Rのどんな開集合にも内点として有理数が存在します（有理数の稠密性）．
このことから，[a]を含む開集合Uをどのようにとったとしても，
（ある有理数）∈ p^(-1)(U):openとなり，[q/p]∈U．
[b]の開近傍にも全く同じことが言えるので，以上のことから[a]∈U, [b]∈VとなるU,Vをどのようにとっても，[q/p]という共通の元をU,Vは持ってしまうので，UとVは非交和にはなり得ない．■
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