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761.三平方の定理とその逆の証明  
名前:    日付:2020年4月30日(木) 21時41分
ピタゴラスの定理とその逆を証明したいのですが
下記で正しいでしょうか?
教えて下さい。よろしくお願い致します。

[証明したいこと]
(ピタゴラスの定理)
C=π/2 の直角三角形ABCに対して
a^2+b^2=c^2 が成立する。

(ピタゴラスの定理の逆)
△ABC に対して
a^2+b^2=c^2
が成立すれば、△ABC は C=π/2 の直角三角形である。

[Proof]
冪級数による指数関数、三角関数の定義より
e^z:=納n=0 to ∞]z^n/n!
cos z:=納n=0 to ∞]((-1)^n)z^(2n)/(2n)!
sin z:=納n=0 to ∞]((-1)^n)z^(2n+1)/(2n+1)!
と置く。

任意の0でない複素数 z に対し
z=|z|e^(iθ)=|z|(cosθ+i sinθ)
となる実数θが存在する。
ここで
|z|:=√zz*(zとその共役複素数z*の積の平方根)と置く。

オイラーの公式が成立するので
(sinθ)^2+(cosθ)^2
=(cosθ+i sinθ)(cosθ-i sinθ)
=e^(iθ)e^(-iθ)
=e^(iθ-iθ)
=e^0
=1
を得る。

e^(iθ)の区間[0,2π)から{z ∈ C | |z| = 1}への
全射性については杉浦光夫著の解析入門Tのpp.182-183を
参照せよ。

a,b,θ∈Rとし、複素数を z=b+ai、c=|z|とすれば
cosθ=b/c、sinθ=a/cである。
これが実変数θの関数としての
cosθ、sinθの幾何学的意味を表す。
即ちベクトル z の x軸、y軸への正射影が
b=|z|cosθ、a=|z|sinθ である。
したがって、θ∈Rならば、a⊥bである。

複素数全体 C は、実数体 R 上の2次元
平面ベクトル空間と同型であるから、
幾何学的には同じである。

よって、0<θ<π/2に対して
A=θ、a⊥bとなる直角三角形ABCを書くと
cosθ=b/c、sinθ=a/c
となる。

ゆえに、C=π/2 の直角三角形ABCに対して
a^2+b^2=c^2 が成立する。

また、△ABC に対して
a^2+b^2=c^2
が成立すれば、△ABC は C=π/2 の直角三角形である。■
(社会人/質問者)
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