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802.Re: 環論(イデアル)について  
名前:通りすがり    日付:2020年5月6日(水) 16時7分
訂正します.

> もし「素元」という概念とその基本性質が既習ならば,単項イデアルが素イデアルであるための必要かつ十分条件についても教わっていると思います.(3) はこちらを利用する手もあります(本質的には Z[X]/I が〇〇〇かどうかを調べるのと同じですが)

は無視してください(I と J を混同していました).
(回答者)
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801.Re: 環論(イデアル)について  
名前:通りすがり    日付:2020年5月6日(水) 16時5分
(2) J が単項イデアルである為の必要かつ十分条件は

 ・J = (f)   (※)

を満たす Z[X] の元 f が存在することです.このような f の候補はどんなものがあるかよく考えてください.J の生成元に着目し,f の候補を絞り,あとは個々について(※)が成立するか議論すればよいのではないでしょうか.

(3), (4) については,「可換環 A のイデアル a が素イデアル,極大イデアルである為の必要かつ十分条件は,それぞれ A/a が〇〇〇,□□□であることである」という重要な定理を学んでいると思います(〇〇〇,□□□が何かはきちんと調べてください).

後は Z[X]/I が〇〇〇かどうかを調べれば (3) が,J を含むイデアル m で Z[X]/m が□□□となっているものを探せば (4) が得られます.

もし「素元」という概念とその基本性質が既習ならば,単項イデアルが素イデアルであるための必要かつ十分条件についても教わっていると思います.(3) はこちらを利用する手もあります(本質的には Z[X]/I が〇〇〇かどうかを調べるのと同じですが)

(4) のヒント 1: 正の整数 n と n が生成する Z のイデアル (n) について,Z/(n) が□□□である為の必要かつ十分条件は何でしょうか?

ヒント 2: Z[X]/(X) はある特定の環と同型です.何と同型でしょうか?
(回答者)
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800.環論(イデアル)について  
名前:ウサギ    日付:2020年5月6日(水) 15時27分
大学二年の環論について、次の問題の(2)(3)(4)が分からないため、教えて頂きたいです。

多項式環Z[x]のイデアルI=(x^2+1)、J=(2,x^2+1)を考える。

(1)イデアルIはZ[x]の素イデアルになるか、理由とともに答えよ
(2)イデアルJはZ[x]の単項イデアルになるか、理由とともに答えよ
(3)イデアルJはZ[x]の素イデアルになるか、理由とともに答えよ
(4)イデアルIを含むZ[x]の極大イデアルの例を与えよ。それが極大イデアルになることも説明せよ

(1)は何とか私なりに理解できたのですが、それ以降が分からなくて困っています。
どうかよろしくお願い致します。
(大学 2 年/質問者)
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