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822.Re: 関数の一意性について  
名前:ラッキー    日付:2020年5月12日(火) 1時3分
ありがとうございました。
124-143-158-125.rev.home.ne.jp (124.143.158.125)
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821.Re: 関数の一意性について  
名前:らすかる    日付:2020年5月12日(火) 0時50分
それが条件を満たしていますので、
それを解答の中に書けば正解だと思います。

pl59336.ag1001.nttpc.ne.jp (133.232.237.200)
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818.Re: 関数の一意性について  
名前:ラッキー    日付:2020年5月11日(月) 23時37分
f(x)=cos(x),g(x)=sin(x)と置くとどうなりますか?
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815.Re: 関数の一意性について  
名前:らすかる    日付:2020年5月11日(月) 22時50分
方針は良いと思います。
ただし、これだけでは「高々1組存在する」ことの証明であって、
「ただ1組存在すること」の証明にはなっていません。
(存在する1組を書けば良いだけですが。)

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814.関数の一意性について  
名前:ラッキー    日付:2020年5月11日(月) 21時39分
すべての実数に対して定義された微分可能な関数f(x), g(x) で
f′(x) = -g(x), g′(x) = f(x)
f(0) = 1, g(0) = 0
をみたすものがただ1組存在することを示したいです。
証明の方針が正しいかどうか教えて下さい。
お願いします。

[Proof]
f′(x) = -g(x), g′(x) = f(x) …(1)
f(0) = 1, g(0) = 0 …(2)
の解がf, g以外にあったとしそれをf^,g^ とする。
そうすれば
f^′(x) = -g^(x), g^′(x) = f^(x) …(3)
f^(0) = 1, g^(0) = 0 …(4)
となる。

F:=f-f^, G:=g-g^ とおくと、
F'=-G
G'=F
F(0)=0
G(0)=0
が成り立つ。

A:=F×F+G×G とおくと、
A(0)=0,
A'=0
が成り立つ。

これより、
A=Constである。
A(0)=0 だから、Const=0である。
つまり、A=0である。
よって、F=0, G=0である。
したがって、
f=f^、 g=g^
が成り立つ。これは矛盾である。
ゆえに、(1),(2)の解はただ一つである。
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