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841.ある等号否定の式の証明に関して  
名前:ラッキー    日付:2020年5月15日(金) 23時16分
下記の証明の間違えを教えて下さい。
よろしくお願い致します。

[証明したいこと]
k∈N, x,y∈R,k>1,x>0,y>0のとき
x^k+y^k≠(x+y)^kである。

k∈N, x,y,z∈R,k>2,x>0,y>0,x+y-z>0,z≠0のとき
x^k+y^k≠(x+y-z)^k
である。

[Proof]
a,b,θ∈R,a>0,b>0とする。
c:=√(a^2+b^2)と置く。

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
(a/c)^2+(b/c)^2=1
である。

n∈N,n>2,d∈R,d≠cとする。
ここで、d>cとし
((a/(d-c))^n+(b/(d-c))^n)^2=1と仮定する。
d-c=c とすると
d=2c である。
また、c>dとし
((a/(c-d))^n+(b/(c-d))^n)^2=1と仮定する。
c-d=c とすると
d=0 である。
よって
((a/c)^n+(b/c)^n)^2=1と書ける。

ところで
((a/c)^2+(b/c)^2)^2=1である。

実数の範囲で
(t^n+s^n)^2=1⇒(t^2+s^2)^2=1
は成り立たない。

これは矛盾である。

したがって
((a/c)^n+(b/c)^n)^2≠1
である。
よって
(a^n+b^n)^2≠(a^2+b^2)^nである。

m∈R,n=2mとすると
((a^2)^m+(b^2)^m)^2≠(a^2+b^2)^2m
である。

x,y∈R とし
x=a^2,y=b^2 とすると
(x^m+y^m)^2≠(x+y)^2mである。

したがって
n∈N, x,y∈R,n>2,x>0,y>0のとき
x^(n/2)+y^(n/2)≠(x+y)^(n/2)である。

よって
k∈N, x,y∈R,k>1,x>0,y>0のとき
x^k+y^k≠(x+y)^kである。

k∈N, r,x,y,z∈R,k>2,x>0,y>0,x+y-z>0,r>0,z≠0のとき
x^k+y^k=(x+y-z)^kと仮定する。
x+y-z=rとすると
x^k+y^k=r^kである。

実数の範囲で
(x/r)^k+(y/r)^k=1⇒(x/r)^2+(y/r)^2=1
は成り立たない。

これは矛盾である。

ゆえに
k∈N, x,y,z∈R,k>2,x>0,y>0,x+y-z>0,z≠0のとき
x^k+y^k≠(x+y-z)^k
である。■
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