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857.Re: 2階常微分方程式  
名前:あすなろ    日付:2020年5月18日(月) 8時5分
 簡単な定数係数2階線形同次微分方程式なので、以下のようにして解くのが普通です。

  y" - 2y = 0
  λ^2 - 2 = (λ+√2)(λ-√2) = 0
  λ= -√2, √2
  ∴y = C1*exp(-√2 x) + C2*exp(√2x)
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856.2階常微分方程式  
名前:しいたけ    日付:2020年5月18日(月) 3時53分
「y"=2y」という微分方程式について、

解答が
y=Ae^(√(2)x)+Be^(-√(2)x)
となると思うのですが、その過程において行き詰ってしまったので、手助けして頂きたいです。


解答↓

両辺に2y'をかけると、
2y'y"=4yy'

これを両辺xで積分すると、
(y')^2=2y^2+a (a:積分定数)
よって、
y'=±√(2y^2+a)


ここから様々な場合を考えてみました。

@これを両辺xで積分すると、

(ln|y+√(y^2+a)|)/√(2)=±x+b (b:積分定数)
y+√(y^2+a)=c*exp(√(2)x) (c:積分定数)

これをyについて解くと、答えになるはずなのですが、
「少々煩雑な計算になってしまいます。」



A積分定数をaではなく、2a^2にすると、

y'=±√(2y^2+2a^2)

ここで、y=atanθとおいて、積分計算をすると、
答えにたどり着けるのですが、
積分定数は負の場合を考えなくてもいいのでしょうか(2a^2と置いても問題はないのでしょうか)。」


Aの方法でできるならそちらで解きたいです。
@の方法しかないなら諦めます。
それとも他の解法ございましたら教えてください。

よろしくお願いします。
(大学 3 年/質問者)
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