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920.Re: 極限 数列  
名前:あぶ    日付:2020年5月22日(金) 16時49分
なるほど。ありがとうございました。
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919.Re: 極限 数列  
名前:名無し    日付:2020年5月22日(金) 16時43分
ちなみにですが,この両辺の極限をとって極限値を予想するやり方は,大学受験の問題ではほとんど使いません(解答にこれを書く機会がほとんどないという意味です).

数列がどこに収束するか?の簡単な調べ方と思っておくくらいでいいと思います.
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918.Re: 極限 数列  
名前:名無し    日付:2020年5月22日(金) 16時37分
数列が収束するということを仮定すれば両辺を極限に飛ばしてもかまいません.

a(1)=1
a(n+1)=√(a(n)+6)
で表される数列の極限値を求めよ。

という問題においては,数列の極限が存在することは自明ではないので,数学的帰納法やはさみうちの原理をつかって地道に証明を進める必要があります.


繰り返し注意しますが,n→∞でa_nとa_(n+1)をαにおきかえて計算してよいのは「数列が収束するという仮定がなりたつときのみ」OKです.
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917.Re: 極限 数列  
名前:あぶ    日付:2020年5月22日(金) 16時20分
a(1)=1
a(n+1)=√(a(n)+6)
で表される数列の極限値を求めよ。

しかしこのような問題の解説を見ると、極限値はあくまで予想で、証明でははさみうちの原理などを使って証明しています。こういう問題でもn→∞においてa(n)とa(n+1)をつかってもよいのでしょうか。なぜわざわざはさみうちの原理などを使う必要があるのでしょうか。
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916.Re: 極限 数列  
名前:名無し    日付:2020年5月22日(金) 16時7分
「数列a_nの極限が存在する」という仮定の下では
a_n, a_(n+1)を同時に極限値αへ飛ばす操作ができ,この操作は数学的に正しいです.


n→∞でのa_nの極限とa_(n+1)の極限が一致するということは証明するまでもなく明らかなことではないでしょうか.
数列{a_n}の各成分を1こずつズラして,数列{a_(n+1)}(n=2,3,4,...) をつくってもその極限は変わりませんので.
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914.Re: 極限 数列  
名前:あぶ    日付:2020年5月22日(金) 16時0分
ではこの、

a_nがαに収束すると仮定すれば
両辺のn→∞の極限をとって
α=(α^2)/3+2/3
α^2-3α+2=0
α=1,2
なので極限値は1または2

というのが証明になっているということですか?極限を求める方法として、n→∞でa(n)とa(n+1)が一致するというのは証明として使えるのでしょうか?
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913.Re: 極限 数列  
名前:名無し    日付:2020年5月22日(金) 15時50分
収束すると仮定しています.
(2)文中の「予想」は,極限値の予想についてのみ言及していると読みました.

収束させるようなa_1の範囲を求めるのは,グラフを用いず瞬時に求める方法は一般にはないです.通常の方法((1)で使ったやり方)しかないので,(2)の解答は極限値の予想だけでいいのではないでしょうか.
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911.Re: 極限 数列  
名前:あぶ    日付:2020年5月22日(金) 15時37分
では収束すると仮定しているので、実際に収束することを示さなくてはいけないんじゃないんですか?
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910.Re: 極限 数列  
名前:名無し    日付:2020年5月22日(金) 14時59分
(2)の想定解は恐らく

a_nがαに収束すると仮定すれば
両辺のn→∞の極限をとって
α=(α^2)/3+2/3
α^2-3α+2=0
α=1,2
なので極限値は1または2

だと思います.はさみうちは使いません.
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909.極限 数列  
名前:あぶ    日付:2020年5月22日(金) 14時6分
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これの(1)は分かるのですが、(2)ではさみうちの定理を使おうとしてもどのように挟むかうまい解き方が思いつきません。解答を送ってほしいです。
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