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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled)  
名前:🅰    日付:2017/4/21(金) 21:37
2直線√3x−2y+2=0, 3√3x+y−1=0のなす角θを求めよ。
これってどうやって解きますか?ちなみに答えは60°です。



Re: (untitled)
名前:WIZ    日付:2017/4/21(金) 22:49
(√3)x−2y+2 = 0 ⇒ y = ((√3)/2)x+1
y = ((√3)/2)x+1とx軸とのなす角度をαとすれば、tan(α) = (√3)/2なので、0 < α < π/2です。

(3√3)x+y-1 = 0 ⇒ y = (-3√3)x+1
y = (-3√3)x+1とx軸とのなす角度をβとすれば、tan(β) = -3√3なので、-π/2 < β < 0です。

よって、y = ((√3)/2)x+1とy = (-3√3)x+1のなす角度θは、θ = α-βです。(β < 0なので)

tan(θ) = tan(α+(-β))
= {tan(α)+tan(-β)}/{1-tan(α)tan(-β)}
= {(√3)/2+(3√3)}/{1-((√3)/2)(3√3)}
= {(√3)+6√3)}/{2-(√3)(3√3)}
= {7√3}/{-7}
= -√3

tan(θ) = -√3より、θ = -π/3です。
# なす角度はy = ((√3)/2)x+1とy = (-3√3)x+1のどちらを基準に取るかで符号が変わるので、
# θ = -π/3でも、θ = π/3でも問題ありません。


Re: (untitled)
名前:Kenji    日付:2017/4/21(金) 23:32
別解として書いておきます。
(私はこの方針しか思いつかず、WIZさんの解法を拝見して驚きを感じました。)

2直線√3x−2y+2=0, 3√3x+y−1=0はそれぞれベクトル(√3,−2),(3√3,1)と垂直である。
この2つのベクトルのなす角をδとおくと
cosδ
=(√3,−2)(3√3,1)/{|(√3,−2)||(3√3,1)|}
=7/{(√7)(2√7)}
=1/2
∴δ=60°(∵0≦δ≦180°)
これは2直線のなす角θと一致する。

(答)θ=60°

「75999.(untitled)」への返信

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