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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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あれ?忘れた  
名前:太刀川    日付:2017/5/18(木) 23:13
複素数a+ibって、ベクトル(a.b)ですよね。

2乗した場合、a^2ーb^2+2iabとなり、ベクトルに直すと

(a^2ーb^2、2ab)になるのですが、このベクトルはどこを指しているのですか?



Re: あれ?忘れた
名前:WIZ    日付:2017/5/18(木) 23:33
極座標で表せば、ベクトル(a, b)の絶対値をr, x軸とのなす角度をtとして、
(a, b) = (r*cos(t), r*sin(t))です。

a^2-b^2 = (r*cos(t))^2-(r*sin(t))^2 = (r^2)cos(2t)
2ab = 2(r*cos(t))(r*sin(t)) = (r^2)sin(2t)
よって、
(a^2ーb^2, 2ab) = ((r^2)cos(2t), (r^2)sin(2t))
となり、絶対値が2乗、偏角が2倍となったベクトル(?)ですね。

実は、r = 1とすると、自然数n(自然数でなくても良いのですが)に対して
(cos(t)+i*sin(t))^n = cos(nt)+i*sin(nt)となることが知られており、
これをド・モアブルの定理といいます。
ご質問の件は、ド・モアブルの定理のn = 2の場合とほぼ同じことだったということですね。


Re: あれ?忘れた
名前:noname    日付:2017/5/20(土) 23:10
幾何的に考えることも出来ます.一般に,0でない複素数z,wが与えられており,z,wに対応する複素平面上での点をZ,Wとすると,積zwに対応する複素平面上の点は「線分OWと実軸の正部分とのなす角の分だけ線分OZを反時計回りに回転させて,線分OZの長さを線分OWの長さだけ倍にさせて移動した先の点」となります.このことに注意すれば,(a+ib)^2に対応する点とは「a+ibに対応する点を,この点と原点を端点とする線分と実軸正部分とのなす角の分だけ反時計回りに回転させて,長さを|a+ib|の分だけ倍にさせて移動した先の点」だということが分かります.つまり,Arg((a+ib)^2)=2・Arg(a+ib),|(a+bi)^2|=|a+bi|^2である様な点だということです.

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