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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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整数問題  
名前:あ、    日付:2017/5/18(木) 23:38
『1+n+(n^2)/2!+(n^3)/3!+(n^4)/4!+(n^5)/5!+(n^6)/6!
が整数となるような2034以下の自然数nの個数を求めよ。』
教えてください



Re: 整数問題
名前:みずき    日付:2017/5/19(金) 1:25
m=1+n+(n^2)/2!+(n^3)/3!+(n^4)/4!+(n^5)/5!+(n^6)/6!とおく。

両辺に6!をかけて
6!m=6!+6!n+6×60n^2+6×20n^3+6×5n^4+6n^5+n^6
mが整数なので、n=6k(kは正整数)となることが必要。

両辺を6で割って
5!m=5!+5!n+5×12n^2+5×4n^3+5n^4+6^5k^5(1+k)だから
k^5(1+k)が5の倍数であることが必要で k≡0,4(mod 5)

よって、n=30Nまたはn=30N-6(Nは正整数)が必要。
一方、このときmは整数になります。

答えは [2034/30]+[(2034+6)/30]=67+68=135個

「76496.整数問題」への返信

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