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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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(untitled)  
名前:ちえみ    日付:2017/8/9(水) 16:52
原点をOとし、定点A(1,2)を通る直線が、x軸、y軸の正の部分と交わる点を、それぞれ、P,Qとする。このとき、△OPQの面積の最小値を求めよ。
お願いします。



Re: (untitled)
名前:通りすがり    日付:2017/8/9(水) 17:32
条件から直線PQの方程式は
y=-a(x-1)+2
(a>0)
と置くことができますので
P(1+2/a,0),Q(0,2+a)
∴△OPQの面積をSとすると
S=(1/2)OP・OQ
=(1/2)(1+2/a)(2+a)
={1/(2a)}(a+2)^2
=(1/2)(a+4/a+4)
よって相加平均と相乗平均の関係により
S≧(1/2){2√{a・(4/a)}+4}=4
(不等号の下の等号は
a=4/a、つまりa=2のとき成立)
よって求める最小値は4です。

「77686.(untitled)」への返信

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