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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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どなたか教えてください・・・  
名前:たろう    日付:2018/4/16(月) 20:36
nを1から2019の整数とする
[2019/n]はいくつ整数あるか?
[x]はxを超えない最大の整数です。



Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 22:19
44<√2019<45

1≦n≦44 (nは自然数)について
nb=2019 のとき
b>45>n で
 (n+1)(b-1)=nb+b-n+1=2019+b-n+1>2019 なので
 2019/(n+1)<b-1
よって [2019/n]>[2019/(n+1)]
したがって {[2019/n]|n=1,...,45)}の元はすべて互いに異なる。
[2019/45]=44
{[2019/n]|n=45,....,2019}は,44から1までのすべての自然数になります。
(ご自分でやってみてください)

よって求める個数は88個


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 22:32
天下り的な解答に見えるかもしれませんがn=1,2,3,4,5...,44,45 で実験して規則性を見つけました。

[30/n] あたりで実験するといいと思います。


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 23:10
{[2019/n]|n=45,....,2019}は,44から1までのすべての自然数になることを示す。。

1≦m≦44(mは自然数)に対して n=[2019/m]とおくと、
 nは自然数で1≦n≦2016.
 (2019/m)-1<n≦2019/m なので、
 m≦2019/n<2019/((2019/m)-1)=m+(m^2)/(2019-m)<m+1
よって[2019/n]=m となる。


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/16(月) 23:53
「{[2019/n]|n=1,...,45}の元はすべて互いに異なる。」は、表現がおかしいですね。
「{[2019/n]|n=1,...,45}の元の個数は45個である。」に訂正します。


Re: どなたか教えてください・・・
名前:IT    日付:2018/4/18(水) 7:8
a[n]=2019/n,b[n]=[2019/n] とおくと
数列{a[n]}は単調減少で、また隣接項間の差が単調減少なので
a[n]-a[n+1]≧1のときは b[n]-b[n+1]≧1 となりすべて互いに異なる。
a[n]-a[n+1]<1になると b[n]-b[n+1]=0,1 となり隙間(の整数)がない。

「80647.どなたか教えてください・・・」への返信

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