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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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答えまで教えてください。  
名前:    日付:2018/4/16(月) 21:55
x^2-xy-2y^2+ax-y+1 が1時式の積に因数分解されるように定数aの値を求めよ。
よろしくお願いいたします。



Re: 答えまで教えてください。
名前:WIZ    日付:2018/4/16(月) 23:18
整数係数の範囲での因数分解と解釈して回答します。

A, B, C, Dを整数として、
x^2-xy-2y^2+ax-y+1 = (x+Ay+B)(x+Cy+D)
と因数分解されるものとします。

右辺を展開して係数を比較すると、
x^2-xy-2y^2+ax-y+1 = x^2+(A+C)xy+ACy^2+(B+D)x+(BC+AD)y+BD

よって、
A+C = -1・・・・・(1)
AC = -2・・・・・(2)
B+D = a・・・・・(3)
BC+AD = -1・・・・・(4)
BD = 1・・・・・(5)

(1)(2)より、AとCは2次方程式t^2+t-2 = 0の根です。
AとCに区別はないので、A = 1, C = -2と取ります。

すると(4)は、
-2B+D = -1
⇒ D = 2B-1・・・・・(6)

(6)を(5)に代入すると、
B(2B-1) = 1
⇒ 2B^2-B-1 = (2B+1)(B-1) = 0

Bは整数なので、B = 1となり、(6)よりD = 2*1-1 = 1となります。

以上から、(3)より、a = 1+1 = 2となります。

「80649.答えまで教えてください。」への返信

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