数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板

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答えまで教えてください。

名前：銀日付：2018/4/16(月) 21:55

x^2-xy-2y^2+ax-y+1 が1時式の積に因数分解されるように定数aの値を求めよ。
よろしくお願いいたします。

	Re: 答えまで教えてください。
	名前：WIZ 日付：2018/4/16(月) 23:18
	整数係数の範囲での因数分解と解釈して回答します。 A, B, C, Dを整数として、 x^2-xy-2y^2+ax-y+1 = (x+Ay+B)(x+Cy+D) と因数分解されるものとします。右辺を展開して係数を比較すると、 x^2-xy-2y^2+ax-y+1 = x^2+(A+C)xy+ACy^2+(B+D)x+(BC+AD)y+BD よって、 A+C = -1・・・・・(1) AC = -2・・・・・(2) B+D = a・・・・・(3) BC+AD = -1・・・・・(4) BD = 1・・・・・(5) (1)(2)より、AとCは2次方程式t^2+t-2 = 0の根です。 AとCに区別はないので、A = 1, C = -2と取ります。すると(4)は、 -2B+D = -1 ⇒ D = 2B-1・・・・・(6) (6)を(5)に代入すると、 B(2B-1) = 1 ⇒ 2B^2-B-1 = (2B+1)(B-1) = 0 Bは整数なので、B = 1となり、(6)よりD = 2*1-1 = 1となります。以上から、(3)より、a = 1+1 = 2となります。

「80649．答えまで教えてください。」への返信

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