[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

わからない算数・数学の問題を質問して教えてもらいましょう。
回答できる人は積極的に回答し、みんなで教えあいましょう。
利用前に数学質問掲示板の注意事項を読んでください。
数式の書き方がわからない人は数学質問掲示板での数式の書き方を参考にして下さい。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容
   タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
 



(untitled)  
名前:きゃん    日付:2018/5/15(火) 16:17
Aを3次直交行列
a,bをR^3のベクトルとする
この時、次の等式が成り立つことを示せ

Aa×Ab=(detA)A(a×b)

a×bはベクトルの外積です
よろしくお願いします



Re: (untitled)
名前:Delta    日付:2018/5/15(火) 19:15
A=(u[1],u[2],u[3]) u[i]∈R^3 とする
またa,bの各成分をa[1],...,b[3] a[i],b[1]∈Rとする

detA=det(u[1],u[2],u[3])=u[1]・(u[2]×u[3])
u[1],u[2],u[3]はR^3上の正規直交基底であるから、
detA=1のとき、u[2]×u[3]=u[1],u[3]×u[1]=u[2],u[1]×u[2]=u[3]
detA=-1のとき、u[2]×u[3]=-u[1],...
つまり、u[2]×u[3]=(detA)u[1],u[3]×u[1]=(detA)u[2],u[1]×u[2]=(detA)u[3] となる。

Aa×Ab=(Σ[i=1:3]a[i]u[i])×(Σ[j=1:3]b[j]u[j])
=Σ[i,j]a[i]b[j](u[i]×u[j])
=(a[2]b[3]-a[3]b[2])(u[2]×u[3])+(a[3]b[1]-a[1]b[3])(u[3]×u[1])+(a[1]b[2]-a[2]b[1])(u[1]×u[2])
=(detA){(a[2]b[3]-a[3]b[2])u[1]+(a[3]b[1]-a[1]b[3])u[2]+(a[1]b[2]-a[2]b[1])u[3]}
=(detA)A(a×b)

これが一番効率の良い証明かは分かりませんが上のような方法で導くことができます。
計算をさらさらと書いていますが、1行1行どのように変形しているのか考えながら読んでください。

「81011.(untitled)」への返信

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb