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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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変数分離法  
名前:トム    日付:2018/5/16(水) 19:14
dy/dx=(y^2-9)/xの一般解y(x)を求めよ。また、初期条件y(1)=1を満たす解を求めよ。

よろしくお願いいたします。



Re: 変数分離法
名前:none    日付:2018/5/16(水) 19:55

dy / dx = (y^2−9) / x より
( 1 /(y^2−9))) dy = (1/x) dx
∫( 1 / (y^2−9))) dy =∫(1/x) dx

両辺をそれぞれ不定積分の計算をすれば良いわけですが、
左辺はこのままでは積分できないので、
 1/ (y^2−9) = a / (y−3) + b / (y+3))
となる a,b の値を求めて部分分数に分けられたら、あとは
 ∫(a / (y−3)) = a log|y−3| + C1
などと公式を用いて計算。
log − log などの計算も公式を使って頑張ってください。


Re: 変数分離法
名前:トム    日付:2018/5/16(水) 20:48
返信ありがとうございます。途中からですが、
1/6log|(y-3)/(y+3)|=log|x|+C
(y-3)/(y+3)=±e^(6log|x|+6C)=±e~6C*x^6

y(x)=3(1±e^6C*x^6)/(1∓e^6C*x^6)複号同順
これであっていますでしょうか。

また後半についてですが、解を求めよというのがどのように回答すればいいのかわかりません。
初期条件から積分定数を求めて
y=(xの式)という形で回答すればいいのでしょうか


Re: 変数分離法
名前:none    日付:2018/5/16(水) 21:40
> (y-3)/(y+3)=±e^(6log|x|+6C)=±e~6C*x^6
> y(x)=3(1±e^6C*x^6)/(1∓e^6C*x^6)複号同順

おそらくほとんど合っていると思いますが、
上式から下式への変形が、正直私は理解できていません。
もちろんそれも正解かもしれませんが。

私なら、
 (左辺) = y−3 / y+3 = 1− 6/ y+3 から、
 y−3 = 6 / (1−(右辺))
とでもしますが。

細かいことですが。log|x|+C から e^6C とした時点で = =A と置き換えましょう。
それから、初期値からの解法ですが、定数CまたはAが1か所でないと、
 y(1) = (Cの式) = 1
を解くのが難しいと思う。

「81028.変数分離法」への返信

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