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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。  
名前:固有値    日付:2018/6/12(火) 21:5
n次正方行列Pがある。n(j=1)(pij)=1を満たし、P=(pij)は非負である。このとき、Pの全ての固有値の絶対値が1以下であることを示せ。
かなり考えたのですが、ついに導きませんでした。
お分かりの方、回答お願いします。。



Re: なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。
名前:LCR    日付:2018/6/12(火) 23:53
> P=(pij)は非負である。

Pが非負値行列なのか?
Pの行列式が非負値なのか?
Pの全ての成分が非負値なのか?


Re: なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。
名前:固有値    日付:2018/6/13(水) 10:12
Pの全ての成分が非負値、という意味です。
すみません。


Re: なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。
名前:LCR    日付:2018/6/13(水) 17:14

実は、固有値・固有ベクトルがすべて実数・実ベクトルであることは示せていないのですが、
 上記を仮定して固有値λの絶対値 |λ|≦1 を示します。

行列Pの固有値・固有列ベクトルの1つを、
 λ, v = ((v_1),…,(v_n)) とする。

 λv = P v   (1)
固有値の定義による(1)を 第i行目について表すと。
 λv_i = Σ[j=1,…,n] p_i,j v_j   (2)
ここで v_1,…,v_n のうち最大の成分を v_k0 とすると、
λ v_i
 = p_i,1 v_1 +・・・+ p_i,n v_n
 = (p_i,1+…+p_i,n) v_k0 − p_i,1 (v_k0−v_1) −・・・− p_i,n (v_k0−v_n)
 = v_k0 − p_i,1(v_k0−v_i) −・・・− p_i,n (v_k0−v_n)   (3)
従って、
|λ v_i| = |λ|・|v_i| ≦ |v_k0|   (4)
特に i=k0 のとき
|λ v_k0| = |λ|・|v_k0| ≦ |v_k0|   (5)
よって、 |λ|≦1   (証終)


なお、もし固有ベクトルの定義が行ベクトル u=(u_1,…,u_n) ならば、すなわち 
 λu = u P
 λu_1+…+λu_n = u_1+…+u_n
が簡単に示せるので λ=1 は明らか。

各成分≧0 で 各行の成分の和=1 の行列をマルコフ行列と言いますが。
この行列は
 (行ベクトルu) (マルコフ行列P)
の積が意味を持つので、固有ベクトルの定義も疑問に思った。
 (n通りの値を取る、時刻t=0 における確率分布が u=(u_1,…,u_n) のとき、
 時刻t=1 における確率分布は u P で表すことができる。)


Re: なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。
名前:固有値    日付:2018/6/14(木) 18:4
出てきた文脈的には、マルコフ行列の全ての固有値は、複素平面の左半平面に存在する、という感じです。
なので、複素数の範囲で考える必要はあると思うのですが、これは難しいのですかね?


Re: なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。
名前:LCR    日付:2018/6/14(木) 21:37

固有値・固有ベクトルが複素数の場合でも
 |λ|≦1 が成り立つことを証明し直します。
実際固有値は字数か?は証明できていない。
 逆に質問に答えてもらえると有難いですが、
 マルコフ行列の固有値が虚数になる例を、成分か何かで一例挙げてもらえませんか。

証明
行列Pの固有値・固有列ベクトルの1つを、
 λ= a+ib ∊ C ,
 z = (z_1,…,z_n) = (x_1+i y_1 ,・・・, x_n+i y_n) ∊ C^n
とする。
 λz = P z   (11)
の第k行目
 λ z_k = p_k,1・z_1 +・・・+ p_k,n・z_n   (12)
ここで、|z_k0| = max(|z_1|,…,|z_n|) とおくと、
|λ z_k|= |λ|・|z_k|
 ≦ p_k,1|z_1| +・・・+ p_k,n|z_n|
 ≦ p_k,1|z_k0| +・・・+ p_k,n|z_k0|
 = |z_k0|   (13)
特に k=k0 のとき
|λ z_k0| = |λ|・|z_k0| ≦ |z_k0|   (14)
よって、|λ|≦1   ■

(14)で等号=が成り立つのは z_1 =・・・= z_n = z_k0 のときで、
 (12)に代入 λ z_k0 = p_k,1・z_k0 +・・・+ p_k,n・z_k0 = z_k0 よって、λ=1


Re: なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。
名前:固有値    日付:2018/6/15(金) 11:8
>逆に質問に答えてもらえると有難いですが、
 マルコフ行列の固有値が虚数になる例を、成分か何かで一例挙げてもらえませんか。

調べたところ、全て実数となるというような証明はなく、考えてもわかりませんでした。
しかし、固有値の絶対値が1以下となるというのは理解できました。
ありがとうございました。

「81375.なぜ、固有値が全て1以下となるのでしょうか。」への返信

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