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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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海外のテキストの練習問題です  
名前:だいがくせい    日付:2018/7/10(火) 20:39
Let A ∈ R^(n*n) be a matrix with characteristic polynomial
λ(s)=det⁡(sI-A)=s^n+a_1 s^(n-1)+⋯+a_(n-1) s+a_n.
Assume that the matrix A can be diagonalized and show that it is satisfies
λ(A)=A^n+a_1 A^(n-1)+⋯+a_(n-1) A+a_n I=0,
Use the result to show that A^k,k≥n, can be rewritten in terms of powers of A of order less than n.

A ∈ R^(n×n)を固有多項式
λ(s)=det⁡(sI-A)=s^n+a_1 s^(n-1)+⋯+a_(n-1) s+a_n
の行列とする.

行列Aは対角化でき,
λ(A)=A^n+a_1 A^(n-1)+⋯+a_(n-1) A+a_n I=0
を満たしていることを示していると仮定し,この結果を使ってA^k(k≥n)がnより小さい次数のAのべき乗の項で書き替えられることができることを示せ.

よろしくお願いします.



Re: 海外のテキストの練習問題です
名前:黄桃    日付:2018/7/11(水) 7:57
問題の訳が間違っています。
Aが対角化可能、を仮定して、λ(A)=O を証明せよ、
が前半です。

略解
PAP^(-1)=D=diag[a[1],...,a[n]]] (対角行列)とします。
λ(s)=det(sI-A)=det(P)det(sI-A)det(P^(-1))=det(sI-D)=(s-a[1])(s-a[2])...(s-a[n]) (*)
Pλ(A)P^(-1)=PA^nP^(-1)+a_1 PA^(n-1)P^(-1)+...+a_(n-1)PAP^(-1)+a_nI
=D^n+a_1 D^(n-1)+...+a_(n-1)D+a_n I
=diag[a[1]^n,...,a[n]^n]+a_1*diag[a[1]^(n-1),...,a[n]^(n-1)]+...+a_n I

(k,k)成分は、a[k]^n+a_1 a[k]^(n-1)+...+a_n=λ(a[k]) だから、(*)より0
したがって、Pλ(A)P^(-1)=O となり、λ(A)=O が従う。

後半:x^k をλ(x)で割った余りをr(x)とすれば、A^k=r(A)となるから。
あるいは A^n=-a_1 A^(n-1)-...-a_nI を利用した数学的帰納法。


Re: 海外のテキストの練習問題です
名前:だいがくせい    日付:2018/7/15(日) 11:18
ありがとうございます!
誤訳していて申し訳ないです…

「81665.海外のテキストの練習問題です」への返信

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