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数学問題集「考える葦」 数学質問掲示板

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ベクトルについて  
名前:高校3年    日付:2018/7/10(火) 22:14
ベクトルの問題で解説をみても理解できなかった部分があるので質問させていただきます。

---問題---
平面上に△ABCと点Pがある。このとき,内積(PA↑+2BP↑)・3PC↑ が負となるときの点Pの存在範囲は?
-----------

---解説---
線分ABを2:1に内分する点をDとおくとPD↑=(PA↑+2PB↑)/3より3PD↑=PA↑+2PB↑
よって(PA↑+2BP↑)・3PC↑ ⇒ 3PD↑・3PC↑=9|PD↑||PC↑|cos∠DPC < 0
ここで|PD↑|>0,|PC↑|>0 なので計算結果が負となるための条件は π/2<∠DPC≦π
よって,点Pは線分CDを直径とする円の内部になる。
-----------

負となるための条件が π/2<∠DPC≦π となるところまでは大丈夫なのですが,なぜそれによって点PがCDを直径とする円の内部にあることが決定するのかがわかりません。
ご教授をお願いします。



Re: ベクトルについて
名前:けんけんぱ    日付:2018/7/10(火) 22:23
線分CDを直径とする円の円周上に点Pがあるならば
∠DPC=π/2 です。

これより大きな角になるのは、円の内部ということになります。


Re: ベクトルについて
名前:IT    日付:2018/7/10(火) 22:30
点>PがCDを直径とする円の内部にあることが決定するのかがわかりません。

PがCDを直径とする円周上にあるとき∠DPC=π/2
外側にあるとき∠DPC<π/2
内側にあるときπ/2<∠DPC≦π
となることが分かると思います。

図を描いて確認してください。
  


Re: ベクトルについて
名前:高校3年    日付:2018/7/10(火) 23:1
お二方ともありがとうございました!

図形を書いて考えてみると、円周角の考え方で∠DPC=π/2なら点PはCDを直径とする円周上にあることが当たり前だと気づけました。

図形が苦手なのでついつい式だけで解決しようとしてしまうのですが、ベクトルの図形的な解釈も練習しつつ勉強していきます。

迅速に教えていただき本当にありがとうございました!

「81669.ベクトルについて」への返信

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